Интегрирование

Интегрирование (integration), операция, обратная дифференцированию. Т.е. для заданной функции (скажем, квадратичной функции у = x²) необходимо найти такую др. функцию, называемую интегралом, к-рая при ее дифференцировании дает исходную функцию (x²). Интеграл от x² есть x³/3 + k, где k произвольное постоянное число. Это записывается в виде Jx²dx = х³/3 + k. Имеется неск. способов И. функций: методом подстановки, по частям и др. Описанный вид И. называется нахождением неопред, интеграла, к-рый отличается от нахождения опред. интеграла, когда ответом всегда служит числовое значение, а не функция. Методы нахождения опред. интегралов развиты в связи с вычислением объемов и площадей тел неправильной формы и отличаются от методов нахождения неопред, интегралов. Напр., площадь фигуры, лежащей между кривой у = x² и осью х на отрезке от х = 1 до х = 3, имеет неправильную форму. Представляя эту фигуру разделенной на большое кол-во прямоугольных полосок, площади к-рых легко вычислить, мы можем получить прибл. значение площади этой фигуры путем сложения площадей полосок. Делая последние все уже и увеличивая их кол-во, мы получаем все более точное приближение к площади фигуры. В рез-те перехода к бесконечно узким полоскам и бесконечно большому их числу (это скорее чисто теоретич., чем практич. предположение), мы получаем точное приближение. Для нахождения площади можно использовать методы мат. анализа. Они показывают, что неопред, интеграл (без учета произвольной постоянной k) соответствует площади фигуры, лежащей между кривой и осью на отрезке от х = 0 до произвольного значения х. А чтобы вычислить площадь фигуры на отрезке, где х не равен нулю ни на одном из концов, требуется дважды применить формулу неопред, интеграла. Такой способ вычисления площади фигуры называется нахождением опред. интеграла. Обозн. для опред. интеграла имеет вид Jx²dx. Знак интеграла J похож на вытянутую букву S, означающую суммирование. Член x²dx представляет собой площадь прямоугольной полоски бесконечно малой ширины. Т.о., это обозн. символизирует суммирование полосок бесконечно малой ширины. Числа внизу и вверху знака интеграла (т.е. 1 и 3) обозначают пределы И.